Question

【題目】已知函數(shù)（其中為常數(shù)且）在處取得極值.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上的最大值為1，求的值.

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．

(2) 或.

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)的解析式,可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)是的一個極值點(diǎn),可構(gòu)造關(guān)于的方程,根據(jù),求出值；可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于和小于時，的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于的的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，做出極值，把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于的方程求得結(jié)果.

試題解析：(1)因為，

所以.

因為函數(shù)在處取得極值，

所以.

當(dāng)時，，，

隨的變化情況如下表：

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為．

(2)，

令，解得.

因為在處取得極值，所.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以在區(qū)間上的最大值為．

令，解得.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以最大值1在或處取得．

而，

所以，解得.

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以最大值1在或處取得．

而，

所以，

解得，與矛盾．

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值1在處取得，而，矛盾．

綜上所述，或.