【題目】已知橢圓 上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值是最小值的倍,且點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)任作一條直線,與橢圓交于不同于點(diǎn)的、兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn),記直線、、的斜率分別為、、.試探究與的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案見解析.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)橢圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值分別為,,據(jù)此可得,設(shè)橢圓的方程為:,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上可得橢圓的方程為.
(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為:即,,為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立直線方程與橢圓方程有.結(jié)合韋達(dá)定理可得.由可得,則.綜上可知.
試題解析:
(Ⅰ)因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值分別為,,所以依題意有:,
∵,∴.故可設(shè)橢圓的方程為:,
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以將其代入橢圓的方程得.
∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)依題意,直線不可能與軸垂直,故可設(shè)直線的方程為:即,
,為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn).
將代入方程化簡(jiǎn)得:.
所以,.
.
又由 ,解得,,
即點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以.
因此,與的關(guān)系為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù)且)在處取得極值.
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上的最大值為1,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本,測(cè)量其直徑后,整理得到下表:
直徑/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計(jì) |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計(jì)值.
(1)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(表示相應(yīng)事件的概率);
①;
②;
③
評(píng)判規(guī)則為:若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式,則設(shè)備等級(jí)為甲;僅滿足其中兩個(gè),則等級(jí)為乙;若僅滿足其中一個(gè),則等級(jí)為丙;若全部不滿足,則等級(jí)為丁,試判斷設(shè)備的性能等級(jí).
(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.
①?gòu)脑O(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
②從樣本中隨意抽取2件零件,計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018江西撫州市高三八校聯(lián)考】如圖,在三棱錐中, , , , ,平面平面, 為的中點(diǎn).
(I)求證: 平面;
(II)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,右焦點(diǎn)到直線的距離為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)橢圓下頂點(diǎn)為,直線()與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐,平面,底面為直角梯形,,,,,是中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成角的正切值為,是的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年12月,針對(duì)國(guó)內(nèi)天然氣供應(yīng)緊張的問題,某市政府及時(shí)安排部署,加氣站采取了緊急限氣措施,全市居民打響了節(jié)約能源的攻堅(jiān)戰(zhàn).某研究人員為了了解天然氣的需求狀況,對(duì)該地區(qū)某些年份天然氣需求量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了相應(yīng)的折線圖.
(Ⅰ)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合年度天然氣需求量 (單位:千萬(wàn)立方米)與年份 (單位:年)之間的關(guān)系.并且已知關(guān)于的線性回歸方程是,試確定的值,并預(yù)測(cè)2018年該地區(qū)的天然氣需求量;
(Ⅱ)政府部門為節(jié)約能源出臺(tái)了《購(gòu)置新能源汽車補(bǔ)貼方案》,該方案對(duì)新能源汽車的續(xù)航里程做出了嚴(yán)格規(guī)定,根據(jù)續(xù)航里程的不同,將補(bǔ)貼金額劃分為三類,A類:每車補(bǔ)貼1萬(wàn)元,B類:每車補(bǔ)貼2.5萬(wàn)元,C類:每車補(bǔ)貼3.4萬(wàn)元.某出租車公司對(duì)該公司60輛新能源汽車的補(bǔ)貼情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
為了制定更合理的補(bǔ)貼方案,政府部門決定利用分層抽樣的方式了解出租車公司新能源汽車的補(bǔ)貼情況,在該出租車公司的60輛車中抽取6輛車作為樣本,再?gòu)?輛車中抽取2輛車進(jìn)一步跟蹤調(diào)查,求恰好有1輛車享受3.4萬(wàn)元補(bǔ)貼的概率.
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【題目】已知函數(shù),是常數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程,并證明對(duì)任意,切線經(jīng)過定點(diǎn);
(Ⅱ)證明:時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)、,且.
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