Question

【題目】如圖，某景區(qū)內(nèi)有兩條道路、，現(xiàn)計(jì)劃在上選擇一點(diǎn)，新建道路，并把所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域.已知，，.若綠化區(qū)域改造成本為萬(wàn)元，新建道路成本為萬(wàn)元.

（1）①設(shè)，寫(xiě)出該計(jì)劃所需總費(fèi)用的表達(dá)式，并寫(xiě)出的范圍；

②設(shè)，寫(xiě)出該計(jì)劃所需總費(fèi)用的表達(dá)式，并寫(xiě)出的范圍；

（2）從上面兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中任選一個(gè)，求點(diǎn)在何處時(shí)改造計(jì)劃的總費(fèi)用最小.

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）.

【解析】

（1）①利用正弦定理求出、關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)題意可得出的表達(dá)式，并可求得的范圍；

②設(shè)，利用余弦定理求出，根據(jù)題意可得出的表達(dá)式，并可求得的取值范圍；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，及其對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而得解.

（1）①設(shè)，由正弦定理得，

，，

.

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合的時(shí)候，，所以；

②設(shè)，，

；

（2），則 ，

令，得，且，所以，得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)，即時(shí)，改造計(jì)劃的總費(fèi)用最小.