Question

已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx+

1

4

x²，函數(shù)g（x）=-

1

3

x³+

1

4

x²．
（I）當(dāng)x∈（0，π）時．求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-g（x），x∈（0，1），求證：函數(shù)h（x）的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率恒為正值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）求出f′（x），在x∈（0，π）時，求出f′（x）=0時x的值，通過列表求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)出圖象上任意兩點(diǎn)P（x₁，h（x₁）），Q（x₂，h（x₂）），且x₁＜x₂，轉(zhuǎn)化為證明

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0，即h（x₁）＜h（x₂）；證h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)即可．

解答： 解：（I）根據(jù)題意，得：
f′（x）=

1

2

x-xsinx=x（

1

2

-sinx），
當(dāng)x∈（0，π）時，
令f′（x）=0，解得x=

π

6

，或x=

5π

6

；
列表如下：

x	（0， π 6 ）	π 6	（ π 6 5π 6 ）	5π 6	（ 5π 6 π）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

π

6

），（

5π

6

，π），單調(diào)減區(qū)間是（

π

6

，

5π

6

）．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，h（x₁）），Q（x₂，h（x₂））為圖象上任意兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，
則所證結(jié)果為

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0等價于h（x₁）＜h（x₂）；
則只需證h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)，
∵h(yuǎn)（x）=f（x）-g（x）=xcosx-sinx+

1

3

x³，x∈（0，1]，
∴h′（x）=-xsinx+x²=x（x-sinx）；
設(shè)φ（x）=xsinx，x∈[0，1]，則φ′（x）=1-cosx≥0，
∴φ（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）＞φ（0）=0在x∈[0，1）上成立，
∴h′（x）＞0對x∈（0，1]恒成立，
即h（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增，
所以，原命題成立．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，即利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及證明函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時應(yīng)仔細(xì)分析，必要時應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，是較難的綜合題．