Question

已知函數(shù)f（x）=a^|x|+

2

ax

（a＞0，a≠1）
（1）若a＞1，且關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），滿足如下性質(zhì)：若存在最大（�。┲担瑒t最大（�。┲蹬ca無關(guān)．試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令a^x=t，x＞0，由a＞1得t＞1，關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解，轉(zhuǎn)化為：方程t+

2

t

=m有相異的且均大于1的兩根，列出不等式求得；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，注意對a分類討論．

解答： 解：（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解轉(zhuǎn)化為：方程t+

2

t

=m有相異的且均大于1的兩根，
∴

m2-8＞0 m 2 ＞1 12-m+2＞0

解得2

2

＜m＜3，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2

2

，3）．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①當(dāng)a＞1時(shí)，
x≥0時(shí)，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0時(shí)，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x，所以g′（x）=-a^-xlna+2a^xlna=

2(ax)2-1

ax

lna，
ⅰ當(dāng)

1

a2

＞

1 2

即1＜a＜

4	2

時(shí)，對?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上遞增，
所以g（x）∈[a²+

2

a2

，3），
綜上：g（x）有最小值為a²+

2

a2

與a有關(guān)，不符合（10分）
ⅱ當(dāng)

1

a2

≤

1 2

即a≥

4	2

時(shí)，由g′（x）=0得x=-

1

2

loga²，
且當(dāng)-2＜x＜-

1

2

loga²時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)-

1

2

loga²＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0，
所以g（x）在[-2，-

1

2

loga²]上遞減，在[-

1

2

loga²，0]上遞增，
所以g（x）min=g（-

1

2

loga²）=2

2

，
綜上：g（x）有最小值為2

2

與a無關(guān)，符合要求．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
a）x≥0時(shí)，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0時(shí)，1＜a^x≤

1

a2

，g（x）=a^-x+2a^x，
所以g′（x）=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna＜0，g（x）在[-2，0）上遞減，
所以g（x）∈（3，a²+

2

a2

]，
綜上：a）b）g（x）有最大值為a²+

2

a2

與a有關(guān)，不符合
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥

4	2

．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值知識，考查分類討論思想的運(yùn)用能力，屬難題．