Question

已知向量

m

=（cosx，-sinx），

n

=（cosx，sinx-2

3

cosx），x∈R，令f（x）=

m

•

n

，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理后，利用了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得其單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍，利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的在此范圍上最大和最小值，得到函數(shù)在[0，

π

4

]的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=cos2x-sinx(sinx-2

3

cosx)=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)，
∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（2）當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴1≤2sin(2x+

π

6

)≤2
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．要求對三角函數(shù)的圖象能熟練記憶，利用圖象來解決三角函數(shù)的問題．