Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱函數(shù)的一個上界.已知函數(shù)， .

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）在第（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構成的集合；

（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) .

【解析】試題分析：

（1）由函數(shù)為奇函數(shù)可得，即，整理得，可得，解得，經(jīng)驗證不合題意．（2）根據(jù)單調(diào)性的定義可證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，從而可得在區(qū)間上的值域為，故，從而可得所有上界構成的集合為．（3）將問題轉化為在上恒成立，整理得在上恒成立，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性求得即可得到結果．

試題解析：

（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，

∴，即，

∴，

∴，

解得，

當時， ，不合題意，舍去．

∴.

（2）由（1）得，

設，

令，且，

∵ ；

∴在上是減函數(shù)，

∴在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

∴在區(qū)間上是單調(diào)遞增，

∴，即，

∴在區(qū)間上的值域為，

∴，

故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構成的集合為.

（3）由題意知， 在上恒成立，

∴，

∴，

因此在上恒成立，

∴

設， ， ，由知，

設，則

， ，

∴在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，

∴在上的最大值為， 在上的最小值為，

∴．

∴的取值范圍.