【題目】如圖, 是邊長(zhǎng)為 的正方形, 平面 , , , 與平面 所成角為

(Ⅰ)求證: 平面
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn) 是線段 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn) 的位置,使得 平面 ,并證明你的結(jié)論.

【答案】解:(Ⅰ)證明:∵ 平面 , 平面 ,

,

又∵ 是正方形,

,

平面

(Ⅱ)解:∵ , , 兩兩垂直,所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系 ,

與平面 所成角為 ,即 ,

,可知: ,

, , ,

, ,

設(shè)平面 的法向量為 ,則

,即 ,

,則

因?yàn)? 平面 ,所以 為平面 的法向量,

,

所以

因?yàn)槎娼菫殇J角,

故二面角 的余弦值為

(Ⅲ)解:依題意得,設(shè) ,

,

平面 ,

,即 ,解得: ,

∴點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,

此時(shí) ,

∴點(diǎn) 是線段 靠近 點(diǎn)的三等分點(diǎn).


【解析】(1)證明線面垂直的要點(diǎn)就是在平面內(nèi)找互兩條相交直線都與所證直線垂直。
(2)求二面角時(shí),往往建立空間直角坐標(biāo)系用兩個(gè)平面的法向量的夾角來求。
(3)要確定點(diǎn) M 的位置,使得 AM∥平面BEF,可先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),則向量AM與平面的法向量垂直即可。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱函數(shù)的一個(gè)上界.已知函數(shù), .

(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;

(2)在第(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;

(3)若函數(shù)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知非空集合A、B滿足以下四個(gè)條件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6,7};②A∩B=;③A中的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素;④B中的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素.
若集合A含有2個(gè)元素,則滿足條件的A有個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱 中, 分別是 的中點(diǎn),
(Ⅰ)證明: ∥平面 ;
(Ⅱ)求銳二面角 的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)過拋物線 的焦點(diǎn) 的直線 交拋物線于點(diǎn) ,若以 為直徑的圓過點(diǎn) ,且與 軸交于 , 兩點(diǎn),則 ( )
A.3
B.2
C.-3
D.-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ,橢圓 過點(diǎn) ,直線 軸于 ,且 , 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓 的方程;
(2)設(shè) 是橢圓 的上頂點(diǎn),過點(diǎn) 分別作直線 交橢圓 兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為 ,且 ,證明:直線 過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,按其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六組[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分頻率分布直方圖,觀察圖中的信息,回答下列問題:

(Ⅰ)補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅲ)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生成績(jī)中抽取一個(gè)容量為6的樣本,再?gòu)倪@6個(gè)樣本中任取2人成績(jī),求至多有1人成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)滿足

(1)求證,并求的取值范圍;

(2)證明函數(shù)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);

(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】把一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次,記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b.已知方程組

(1)求方程組只有一個(gè)解的概率;

(2)若方程組每個(gè)解對(duì)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(x,y),求點(diǎn)P落在第四象限的概率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案