Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：連接BD，設(shè)AC與BD相交于點F．
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因為PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E為PB上任意一點，DE平面PBD，所以AC⊥DE．
（Ⅱ）連EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF．
S△ACE=ACEF，在△ACE面積最小時，EF最小，則EF⊥PB．
S△ACE=×6×EF=3，解得EF=1．
由△PDB∽△FEB，得PD：EF=BP：FB．
由于EF=1，F(xiàn)B=4，PB= ，所以PB=4PD，即=4PD．
解得PD=．
VP﹣ABCD=S□ABCDPD=×24×= ．
【解析】（I）連接BD，設(shè)AC與BD相交于點F．由已知中在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，我們易得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可得到AC⊥DE；
（Ⅱ）連接EF，由（Ⅰ）的結(jié)論可知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF，結(jié)合已知中AC=6，BD=8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．我們可以求出EF，F(xiàn)B，PD的值，將PD值，及底面四邊形ABCD的面積求出后，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的性質(zhì)(垂直于同一個平面的兩條直線平行)．