Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，右焦點到直線x+y+

6

=0的距離為2

3

．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 過點M（0，-1）作直線l交橢圓于A，B兩點，交x軸于N點，滿足

NA

=-

7

5

NB

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)圓的離心率為

3

2

，右焦點到直線x+y+

6

=0的距離為2

3

，建立方程組，可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），利用

NA

=-

7

5

NB

，可得（x₁-x₀，y₁）=-

7

5

（x₂-x₀，y₂），設(shè)直線l的方程為y=kx-1（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，由此即可求得直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為

3

2

，右焦點到直線x+y+

6

=0的距離為2

3

，
∴

c a = 3 2 |c+ 6 | 2 =2 3

∴c=

6

，a=2

2

，
∴b=

2

，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0）
∵

NA

=-

7

5

NB

，
∴（x₁-x₀，y₁）=-

7

5

（x₂-x₀，y₂）
∴y₁=-

7

5

y₂①
易知直線斜率不存在時或斜率為0時①不成立
于是設(shè)直線l的方程為y=kx-1（k≠0）．
與橢圓方程聯(lián)立，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0②
∴y₁+y₂=-

2

4k2+1

③y₁y₂=

1-8k2

4k2+1

④
由①③可得y₂=

5

4k2+1

，y₁=-

7

4k2+1

代入④整理可得：8k⁴+k²-9=0
∴k²=1
此時②為5y²+2y-7=0，判別式大于0
∴直線l的方程為y=±x-1．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理進行解題．