Question

如圖：已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1）．
（1）求p的值；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用OD⊥AB，可求直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合OA⊥OB，利用向量的數(shù)量積公式，即可求出p的值；
（2）利用弦長公式求出|AB|，求出|OD|，即可求△AOB的面積．

解答： 解（1）∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又kOD=

1

2

，∴k_AB=-2，
∴直線AB的方程為y=-2x+5．…．…（1分）
設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），則
由OA⊥OB⇒

OA

•

OB

=0⇒x1x2+y1y2=0…．…（2分）
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+5）（-2x₂+5）=5x₁x₂-10（x₁+x₂）+25
聯(lián)立方程

y2=2px y=-2x+5

消y可得4x²-（20+2p）x+25=0①
∴x1+x2=

10+p

2

，x1x2=

25

4

…．（3分）
∴x1x2+y1y2=5×

25

4

-10×

10+p

2

+25=

5

4

-p，
∴p=

5

4

當p=

5

4

時，方程①成為8x²-45x+50=0顯然此方程有解．
∴p=

5

4

…．…（5分）
（2）由|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5×[( 15 8 )2-25]

=

5 85

8

．…（7分）
∵|OD|=

5

．…（8分）
∴S△AOB=

1

2

|AB|•|OD|=

1

2

×

5

×

5 85

8

=

25 17

16

…．…（10分）

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形的面積計算，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．