Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在上恒成立，求正數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：.

Answer 1

【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）；（III）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出導函數(shù)，解不等式和可得單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；（Ⅱ）采用參數(shù)討論的方法求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，通過逐步排除可得正數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結(jié)論，當時有，然后令，代入整理得，相加后可得所證不等式．

（Ⅰ）當時，，

所以，

則當時，，則單調(diào)遞增；

當時，，則單調(diào)遞減；

所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）因為，，則，

.

①當 ，時，有，

故當，則，在上是減函數(shù)，

所以當時，，與在恒成立矛盾。

②當時，，此時在上成立，

所以在上是增函數(shù)，

所以，

即在上恒成立．

綜上所述，所求的取值范圍為．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當時，在上恒成立，

即，

當時，則有，

所以當時，．

令，則有，

即，，

將上述個不等式依次相加得：

，

整理得.