【題目】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中，共含有個1，個2，，個n．證明：并確定使等號成立的條件．

【答案】見解析

【解析】

對正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學歸納法．

當是一位數(shù)，即時，所證式顯然成立，

這是因為，此時的十進制表達式中只有一位數(shù)字，

即，其余，所以，左邊==右邊．

假設(shè)當正整數(shù)不超過k位，即時，結(jié)論皆成立．

現(xiàn)考慮為位數(shù)，即時的情形．

設(shè)的首位數(shù)字為r．則. ①

若，則在數(shù)的各位數(shù)字中，，其余.

顯然，.

若，記的各位數(shù)字中含有個1，個2，…，個r，…，個9．

則的各位數(shù)字中，含有個r、個j.

注意到，正整數(shù)不超過k位．

由歸納法假設(shè)，對有

②

則當為位數(shù)時，結(jié)論也成立．

故由數(shù)學歸納法，知對一切正整數(shù)，結(jié)論皆成立．

欲使等號成立，由證明過程，知要么為一位數(shù)；要么在的位數(shù)大于或等于2時，由式②，必須，此時，由式①得，

即可表示為的形式.

上述條件也是充分的，當能夠表成以上形式時，有，其余.

故

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中正確的是（ ）

A. 若為真命題，則為真命題 B. 若則恒成立

C. 命題“”的否定是“” D. 命題“若則”的逆否命題是“若，則”

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線的焦點是.問：是否存在內(nèi)接等腰直角三角形，該三角形的一條直角邊過點？如果存在，存在幾個？如果不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P（1，）為橢圓上一點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，過點C（0，1）且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（，，）的部分圖像如圖所示.

（1）求函數(shù)的解析式及圖像的對稱軸方程；

（2）把函數(shù)圖像上點的橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求關(guān)于x的方程在時所有的實數(shù)根之和.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．

(1)求圓C的方程；

(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)以原點為極點x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為．

（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程，并指出它是何種曲線；

（Ⅱ）設(shè)與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，求四邊形面積的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在上恒成立，求正數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，且PF2垂直于x軸，連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點Q，設(shè)=λ．

（1）若點P的坐標為（2，3），求橢圓C的方程及λ的值；

（2）若4≤λ≤5，求橢圓C的離心率的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案