【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，當時，求數(shù)列的前項和的最小值；

（3）若，問是否存在實數(shù)，使得是遞增數(shù)列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由題意得出，利用對數(shù)運算得出，然后計算出為非零常數(shù)，利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求出和，利用分組求和法得出，然后分析數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，可得出該數(shù)列的最小值為，由此可得出結(jié)果；

（3）求出，由數(shù)列是遞增數(shù)列，得出，可得出，然后分和兩種情況分類討論，利用不等式的性質(zhì)和參變量分離法可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）證明：由題意，

即，得，且，．

常數(shù)且，為非零常數(shù)，

數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

（2）當時，，，.

.

，數(shù)列是遞增數(shù)列，

因而最小值為；

（3）由（1）知，，要使對一切成立，

即對一切成立．

當時，，對一切恒成立；

當時，，對一切恒成立，只需，

單調(diào)遞增，當時，．

，且，．

綜上所述，存在實數(shù)滿足條件．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線M：的左、右頂點分別為A，B，設(shè)P是曲線M上的任意一點.

（1）當P異于A，B時，記直線PA、PB的斜率分別為、則是否為定值，請說明理由.

（2）已知點C在曲線M長軸上（異于A、B兩點），且的最大值為7，求點C的坐標.

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【題目】為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比.藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

（1）求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米空氣的含藥量降到0．25毫克以下時，學(xué)生方可進教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學(xué)生才能回到進教室？

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，圓O：與坐標軸分別交于A1，A2，B1，B2(如圖)．

（1）點Q是圓O上除A1，A2外的任意點(如圖1)，直線A1Q，A2Q與直線交于不同的兩點M，N，求線段MN長的最小值；

（2）點P是圓O上除A1，A2，B1，B2外的任意點(如圖2)，直線B2P交x軸于點F，直線A1B2交A2P于點E．設(shè)A2P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2m﹣k為定值．

（圖1） （圖2）

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【題目】求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)：對任意正整數(shù)，.

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【題目】定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱為三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”．

（1）已知是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，若，是數(shù)列的保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的首項為2019，是數(shù)列的前項和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；

（3）求證：函數(shù)，是數(shù)列1，，的“保三角形函數(shù)”的充要條件是，．

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【題目】現(xiàn)對一塊邊長8米的正方形場地ABCD進行改造，點E為線段BC的中點，點F在線段CD或AD上（異于A，C），設(shè)（米），的面積記為（平方米），其余部分面積記為（平方米）.

（1）當（米）時，求的值；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）該場地中部分改造費用為（萬元），其余部分改造費用為（萬元），記總的改造費用為W（萬元），求W取最小值時x的值.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．M是曲線上的動點，將線段OM繞O點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段ON，設(shè)點N的軌跡為曲線．以坐標原點O為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）在（1）的條件下，若射線與曲線分別交于A, B兩點（除極點外），且有定點，求的面積．

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