Question

如果對(duì)于一切的正實(shí)數(shù)x、y，不等式

y

4

-cos²x≥asinx-

9

y

都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出

y

4

+

9

y

的最小值，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為f（t）=t²-at+2≥0在t∈[-1，1]時(shí)恒成立時(shí)，a滿(mǎn)足的關(guān)系式，即可求解．

解答： 解：由于y＞0，則

y

4

+

9

y

≥2

y 4 • 9 y

=3，
由于對(duì)于一切的正實(shí)數(shù)x、y，不等式

y

4

-cos²x≥asinx-

9

y

都成立，
即

y

4

+

9

y

≥3≥asinx+cos²x對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x都成立，
故sin²x-asinx+2≥0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x都成立，
令f（t）=t²-at+2，t∈[-1，1]
若使f（t）=t²-at+2≥0在t∈[-1，1]時(shí)恒成立，
則必有△=a²-8≤0或

△=a2-8＞0 f(-1)=1+a+2≥0 f(1)=1-a+2≥0

，
解得-2

2

≤a≤2

2

或-3≤a＜-2

2

或2

2

＜a≤3
故使sin²x-asinx+2≥0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x都成立的a的范圍是[-3，3]，
故對(duì)于一切的正實(shí)數(shù)x、y，不等式

y

4

-cos²x≥asinx-

9

y

都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3，3]，
故答案為：[-3，3]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式，三角函數(shù)的最值以及不等式恒成立的有關(guān)問(wèn)題，屬于中檔題