Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，直線(xiàn)PF₁與圓x²+y²=a²相切，且|PF₂|=|F₁F₂|，則該雙曲線(xiàn)的離心率e是（　�。�

• A、

  5

  3

• B、

  5

  4

• C、

  17

  15

• D、

  17

  16

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線(xiàn)PF₁與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)M，取PF₁的中點(diǎn)N，連接NF₂，由切線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的三線(xiàn)合一，運(yùn)用中位線(xiàn)定理和勾股定理，可得|PF₁|=4b，再由雙曲線(xiàn)的定義和a，b，c的關(guān)系及離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)直線(xiàn)PF₁與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)M，
則|OM|=a，OM⊥PF₁，
取PF₁的中點(diǎn)N，連接NF₂，
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，則NF₂⊥PF₁，|NP|=|NF₁|，
由|NF₂|=2|OM|=2a，
則|NP|=

4c2-4a2

=2b，
即有|PF₁|=4b，
由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b²=（c+a）²，即4（c²-a²）=（c+a）²，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
則e=

c

a

=

5

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，運(yùn)用中位線(xiàn)定理和雙曲線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．