Question

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=log₃x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≤2．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可設(shè)x＜0，則-x＞0，然后將-x代入x＞0時的解析式化簡即可；
（2）按照分段函數(shù)分段處理的原則列出不等式，分別解之，最終取并集即可．

解答： 解：（1）易知f（0）=0；
當(dāng)x＜0時，則-x＞0，所以f（x）=-f（-x）=-log₃（-x）；
所以f（x）=

log3x，x＞0 0，x=0 -log3(-x)，x＜0

．
（2）由題意：當(dāng)x＞0時有l(wèi)og₃x≤2，解得0＜x≤9；
當(dāng)x=0時，f（0）=0顯然滿足題意；
當(dāng)x＜0時有-log₃（-x）≤2，即log₃（-x）≥-2，解得x≤-

1

9

．
綜上可得原不等式的解集為[0，9]∪(-∞，-

1

9

]．

點評：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的方法，以及分段函數(shù)“分段處理”的解決問題的原則．屬于基礎(chǔ)題，難度不大．