Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=6，且a_n-a_n-1=

an-1

n

+n+1（n∈N^*，n≥2），數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為s_n，則S₁₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列{

an

1+n

}，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可．

解答： 解：由a_n-a_n-1=

an-1

n

+n+1（n∈N^*，n≥2），
得a_n=

(1+n)

n

a_n-1+（n+1），（n∈N^*，n≥2），
則

an

1+n

=

an-1

n

+1，
即{

an

1+n

}是以

a1

2

=

6

2

=3為首項(xiàng)公差d=1的等差數(shù)列，
則

an

1+n

=3+n-1=n+2，
即a_n=（n+2）（n+1），
則

1

an

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
則S₁₀=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

11

-

1

12

=

1

2

-

1

12

=

5

12

，
故答案為：

5

12

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的求和的計(jì)算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．