Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx．
（1）求該函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）當(dāng)該函數(shù)取得最大值時(shí)，求自變量x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡(jiǎn)可得y=

1

4

+

1

2

sin（2x+

π

6

），易得周期和最值；
（2）由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

可得函數(shù)取得最大值時(shí)自變量x的集合．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx
=

1

2

•

1+cos2x

2

+

3

4

sin2x
=

1

4

+

1

2

（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）
=

1

4

+

1

2

sin（2x+

π

6

）
∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值為

1

4

+

1

2

=

3

4

；
（2）由（1）知，當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

6

時(shí)，該函數(shù)取得最大值，
故自變量x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的最值和周期性，屬基礎(chǔ)題．