Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）討論的極值點的個數(shù)；

（2）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再換元，令，對與分類討論①②③④，即可得出函數(shù)的極值的情況.

（2）由（1）可知：當時，函數(shù)在為增函數(shù)，又所以滿足條件；當時，因換元滿足題意需在此區(qū)間，即；最后得到的取值范圍.

詳解：

（Ⅰ），設(shè)，則，

當時，，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.

當時，，

若時， ，函數(shù)在為增函數(shù)，無極值點.

若時，設(shè)的兩個不相等的正實數(shù)根，，且，

則

所以當，，單調(diào)遞增；當，單調(diào)遞減；

當， ，單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)有兩個極值點；

同理當時的兩個不相等的實數(shù)根，，且，

當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增；

所以函數(shù)只有一個極值點.

綜上可知當時的無極值點；當時有一個極值點；當時，的有兩個極值點.

（Ⅱ）對于，

由（Ⅰ）知當時函數(shù)在上為增函數(shù)，由，所以成立.

若，設(shè)的兩個不相等的正實數(shù)根，，

且，，∴.則若，成立，則要求，

即解得.此時在為增函數(shù)，，成立

若當時

令，顯然不恒成立.

綜上所述，的取值范圍是.