Question

【題目】已知函數(shù)

⑴若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

⑵若（為自然對數(shù)的底數(shù)），證明：當(dāng)時(shí)，

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由題意可知在上恒成立，

即恒成立，構(gòu)造新函數(shù)令，求導(dǎo)，研究新函數(shù)的單調(diào)性，求出新函數(shù)的最大值，這樣就可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，要證，即證. 又，只需證，即證. ，求導(dǎo)，研究它的單調(diào)性，求出它的最小值；設(shè)，求導(dǎo)，研究它的單調(diào)性，求出它的最大值，這樣命題得證.

（1）【解】，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即恒成立.

令，則， 由，解得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則， 即，所以的取值范圍是.

（2）【證明】當(dāng)時(shí)，要證，即證.

又，只需證，即證.

設(shè)，則，令，解得

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，

從而有.

設(shè)，則，令，解得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 即，

從而有.

因?yàn)?/span>和不同時(shí)為0，所以，故原不等式成立.