Question

【題目】雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中,把到定點(diǎn),距離之積等于（）的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線C.已知點(diǎn)是雙紐線C上一點(diǎn),下列說法中正確的有（ ）

①雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱； ②；

③雙紐線C上滿足的點(diǎn)P有兩個(gè)； ④的最大值為.

A.①②B.①②④C.②③④D.①③

Answer 1

【答案】B

【解析】

對(duì)①,設(shè)動(dòng)點(diǎn),把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程,顯然成立；

對(duì)②,根據(jù)的面積范圍證明即可.

對(duì)③,易得若則在軸上,再根據(jù)的軌跡方程求解即可.

對(duì)④,根據(jù)題中所給的定點(diǎn),距離之積等于,再畫圖利用余弦定理分析中的邊長(zhǎng)關(guān)系,進(jìn)而利用三角形三邊的關(guān)系證明即可.

對(duì)①,設(shè)動(dòng)點(diǎn),由題可得的軌跡方程,把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程顯然成立.故①正確；

對(duì)②,因?yàn)?/span>,故.

又,所以,

即,故.故②正確；

對(duì)③, 若則在的中垂線即軸上.

故此時(shí),代入，

可得,即,僅有一個(gè).故③錯(cuò)誤；

對(duì)④,因?yàn)?/span>,故,

即,

因?yàn)?/span>,

故.

即,

所以.

又,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào).

故,

即,解得.故④正確.

故①②④正確.

故選：B