【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),解方程;
(2)當(dāng)時(shí),定義,設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求及;
(3)對(duì)于任意,其中,當(dāng)能作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)時(shí),也總能作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),試探究M的最小值.
【答案】(1);(2);(3)最小值為2.
【解析】
(1)由題設(shè)知g(x),f﹣1(x)=2x,由g(2x)=3f﹣1(x)+3,得,由此能求出原方程的解;
(2)若1∈(3m,3m+3],m=0,能導(dǎo)出a1=0;若2∈(3m,3m+3],m=0,能導(dǎo)出a2=2;若3∈(3m,3m+3],m=0,能導(dǎo)出a3=3log23;若4∈(3m,3m+3],m=1,能導(dǎo)出a4=0;當(dāng)n=3m+1(m∈N)時(shí),能導(dǎo)出an=0;當(dāng)n=3m+2(m∈N)時(shí),能導(dǎo)出an=n;當(dāng)n=3m+3(m∈N)時(shí),能導(dǎo)出an=nlog23.由此能求出S3n;
(3)由題意知,c+b>a,若f(a),f(b),f(c)能作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)log2c+log2b>log2abc>a,bc≥b+c(b﹣1)(c﹣1)≥1.當(dāng)b≥2,c≥2時(shí),有(b﹣1)(c﹣1)≥1成立,則一定有bc>a成立.由此能夠得出M的最小值為2.
(1)∵函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=f(2x+1)的反函數(shù),
∴g(x),f﹣1(x)=2x,
∵g(2x)=3f﹣1(x)+3,∴,
解得2x=7,∴x=log27.
(2)若1∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(1)=f(1)=0,∴a1=1×0=0
若2∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(2)=f(2)=1,∴a2=2×1=2
若3∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(3)=f(3)=log23,∴a3=3log23
若4/span>∈(3m,3m+3],∴m=1,∴φ(4)=f(1)=0,∴a4=4×0=0
當(dāng)n=3m+1(m∈N)時(shí),φ(n)=f(n﹣3m)=f(1)=0,∴an=n×0=0
當(dāng)n=3m+2(m∈N)時(shí),φ(n)=f(n﹣3m)=f(2)=1,∴an=n×1=n
當(dāng)n=3m+3(m∈N)時(shí),φ(n)=f(n﹣3m)=f(3)=log23,
∴an=nlog23,
S3n=a1+a2+a3+a4+…+a3n
=1×0+2×1+3×log23+4×0+5×1+…+3nlog23
=(2+5+8+…+3n﹣1)×1+(3+6+9+…+3n)log23
nn×log23
[3n+1+(3n+3)log23].
(3)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),由題意知,c+b>a
∵f(a),f(b),f(c)能作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),
∴log2c+log2b>log2a,
∴bc>a,
當(dāng)b≥2,c≥2時(shí),有(b﹣1)(c﹣1)≥1成立,則一定有bc>a成立.
∵log2c>0,
∴c>1,即0<M≤1不合題意.
又當(dāng)1<M<2時(shí),取b=M,c=M,a=M2,有M+M>M2,即b+c>a,
此時(shí)a,b,c可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),但log2M+log2M=2log2M=log2M2,
即f(b)+f(c)=f(a),所以f(a)、f(b)、f(c)不能作為三角形的三邊長(zhǎng).
綜上所述,M的最小值為2.
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分組 | 頻數(shù) |
6 | |
10 | |
20 | |
30 | |
18 | |
12 | |
4 |
(1)做出上述測(cè)試結(jié)果的頻率分布直方圖,并指出其中位數(shù)落在哪一組;
(2)用分層抽樣的方法從行車?yán)锍淘趨^(qū)間與的新車模型中任取5輛,并從這5輛中隨機(jī)抽取2輛,求其中恰有一個(gè)新車模型行車?yán)锍淘?/span>內(nèi)的概率.
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