Question

【題目】圓心在原點(diǎn)的兩圓半徑分別為，點(diǎn)是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為， 與小圓交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求的軌跡方程；

（2） 已知直線： （是常數(shù)，且， ， 是軌跡上的兩點(diǎn)，且在直線的兩側(cè)，滿足兩點(diǎn)到直線的距離相等.平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不可能，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】試題分析： 求出， 的坐標(biāo)，根據(jù)、、三點(diǎn)共線，算出的軌跡方程；

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，點(diǎn)差法算出，代入到的中點(diǎn)和坐標(biāo)，可以得到，整理即可計(jì)算出結(jié)果

解析：（1）依題意可得、，

又、、三點(diǎn)共線，可得，

整理得，即，

的軌跡是以為半長(zhǎng)軸， 為半短軸，焦點(diǎn)在軸的橢圓.

（2）由題意可知、的中點(diǎn)在直線： 上，

設(shè)、、， ，

又、在橢圓上，有

，

可得.

又， ，

∴， ，

∵，∴是等腰三角形，∴.

即恒成立，

整理得，關(guān)于恒成立，

∴ ，

∴存在滿足題意.