【題目】
如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(I)證明:PQ⊥平面DCQ;
(II)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.
【答案】解析:(I)見解析;(2)1.
【解析】
試題(1)要證直線與平面垂直,只須證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可,注意到QA⊥平面ABCD,所以有平面PDAQ⊥平面ABCD,且交線為AD,又因為四邊形ABCD為正方形,由面面垂直的性質(zhì)可得DC⊥平面PDAQ,從而有PQ⊥DC,又因為PD∥QA,且QA=AB=PD ,所以四邊形PDAQ為直角梯形,利用勾股定理的逆定理可證PQ⊥QD;從而可證 PQ⊥平面DCQ;(2)設(shè)AB=a,則由(1)及已知條件可用含a的式子表示出棱錐Q-ABCD的體積和棱錐P-DCQ的體積從而就可求出其比值.
試題解析:(1)證明:由條件知PDAQ為直角梯形.
因為QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線為AD.
又四邊形ABCD為正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,
則PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐QABCD的高,所以棱錐Q-ABCD的體積V1=a3.
由(1)知PQ為棱錐P-DCQ的高,而PQ=a,△DCQ的面積為a2,
所以棱錐P-DCQ的體積V2=a3.
故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目,考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個科目中選出了三個科目作為選考科目.若一名學(xué)生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.
某學(xué)校為了了解高一年級420名學(xué)生選考科目的意向,隨機選取30名學(xué)生進行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表:
(Ⅰ)試估計該學(xué)校高一年級確定選考生物的學(xué)生有多少人?
(Ⅱ)寫出選考方案確定的男生中選擇“物理、化學(xué)和地理”的人數(shù).(直接寫出結(jié)果)
(Ⅲ)從選考方案確定的男生中任選2名,試求出這2名學(xué)生選考科目完全相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, ,若,則對此不等式描敘正
確的是( )
A. 若,則至少存在一個以為邊長的等邊三角形
B. 若,則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形
C. 若,則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形
D. 若,則對滿足不等式的不存在以為邊長的直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍;
(Ⅱ)證明:當時,關(guān)于的不等式在上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當時,證明:;
(3)求證:對任意的,都有:,(其中為自然對數(shù)的底數(shù))。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的一部分圖象如圖所示,其中,,.
(1)求函數(shù)解析式;
(2)求時,函數(shù)的值域;
(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點是圓: 上的任意一點,點與點的連線段的垂直平分線和相交于點.
(I)求點的軌跡方程;
(II)過坐標原點的直線交軌跡于點, 兩點,直線與坐標軸不重合. 是軌跡上的一點,若的面積是4,試問直線, 的斜率之積是否為定值,若是,求出此定值,否則,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓心在原點的兩圓半徑分別為,點是大圓上一動點,過點作軸的垂線,垂足為, 與小圓交于點,過作的垂線,垂足為,設(shè)點坐標為.
(1)求的軌跡方程;
(2) 已知直線: (是常數(shù),且, , 是軌跡上的兩點,且在直線的兩側(cè),滿足兩點到直線的距離相等.平面內(nèi)是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出定點坐標;若不可能,說明理由.
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