Question

已知數列{a_n}滿足，a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*．令b_n=a_n+1-a_n，則

bn+1

bn

=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：在數列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，代入b_n+1=a_n+2-a_n+1中整理得到

bn+1

bn

=-

1

2

，n∈N^*且n≥2，
再由已知求出b₁，b₂，驗證后得到最后結論．

解答： 解：由a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*，
得an+1=

an-1+an

2

，n∈N^*且n≥2，
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=

an+an+1

2

-an+1  
=-

1

2

(an+1-an)=-

1

2

bn，n∈N^*且n≥2，
∴

bn+1

bn

=-

1

2

，n∈N^*且n≥2，
又b₁=a₂-a₁=2-1=1，
a3=

a1+a2

2

=

1+2

2

=

3

2

，
b2=a3-a2=

3

2

-2=-

1

2

，
∴

b2

b1

=-

1

2

．
綜上，

bn+1

bn

=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查數列遞推式，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，解答的關鍵在于b_n與a_n的相互轉換，是中檔題．