Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1（ω＞0）．直線y=

3

與函數(shù)y=f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點（

B

2

，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，且b=3，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化f（x）為Asin（ωx+φ）的形式，在由題意得到函數(shù)的周期，由周期公式求得ω的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的ω值代入函數(shù)解析式，由點（

B

2

，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心求得B，利用正弦定理求出△ABC的外接圓的直徑，把△ABC的周長用含有角A的代數(shù)式表示，則△ABC周長的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1
=sinωx•cos

π

6

-cosωx•sin

π

6

-2•

1+cosωx

2

+1
=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

(

1

2

sinωx-

3

2

cosωx)
=

3

sin(ωx-

π

3

)．
∵函數(shù)f（x）的最大值為

3

，以題意，函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
由

2π

ω

=π，得ω=2；
（Ⅱ）∵f（x）=

3

sin(2x-

π

3

)，依題意

3

sin(B-

π

3

)=0，
sin（B-

π

3

）=0．
∵0＜B＜π，-

π

3

＜B-

π

3

＜

2

3

π，
∴B-

π

3

=0，B=

π

3

，
則2R=

b

sinB

=

3

sin π 3

=

3

3 2

=2

3

，
∴△ABC周長為a+b+c=3+2

3

(sinA+sinC)=3+6sin(A+

π

6

)(0＜A＜

2

3

π)∈（6，9]．

點評：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了正弦定理在解題中的應(yīng)用，是中檔題．