Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：MB⊥平面PAD；
（2）求點A到平面PMB的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件推導出PD⊥MB，MB⊥AD．由此能證明MB⊥平面PAD．
（2）過點D作DH⊥PM于H，由已知條件推導出DH是點D到平面PMB的距離．由此能求出點A到平面PMB的距離．

解答： （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB，
又∵底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點，
∴MB⊥AD．又AD∩PD=D，∴MB⊥平面PAD．
（2）解：∵M是AD中點，∴點A與D到平面PMB等距離．
過點D作DH⊥PM于H，
∵平面PMB⊥平面PAD，∴DH⊥平面PMB．
∴DH是點D到平面PMB的距離．
∵DH=

a 2 ×a

5 2 a

=

5

5

a．
∴點A到平面PMB的距離為

5

5

a．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．