【題目】已知數(shù)列和滿足：，，，且對(duì)一切，均有.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）設(shè)（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，問：是否存在正整數(shù)，對(duì)一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析; （2） （3）存在，2或3

【解析】

(1)原式兩邊同時(shí)除以再根據(jù)等差數(shù)列定義證明即可.

(2)代入(1)中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用數(shù)列前項(xiàng)積與通項(xiàng)的方法求解即可.

(3)根據(jù)(2)中的方法求得關(guān)于的解析式,再將代入,再根據(jù)正整數(shù),分情況討論的取值,將的關(guān)系式看成函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的分析即可.

(1)證明：由,,兩邊除以,得

,即,

所以,數(shù)列為等差數(shù)列,所以,

(2)當(dāng)時(shí),由(1),

當(dāng)時(shí)有,

當(dāng)時(shí)有,,兩式相除有.

當(dāng)時(shí), 也成立.故,

(3)由題,同(2)有.

又

因?yàn)閷?duì)一切,均有恒成立,

所以當(dāng)時(shí),.

若,則,,故,故不成立.

若,,

故,,,,.

且當(dāng)時(shí),. .故成立.

若,則,故,,

,.

又當(dāng)時(shí), ,故,故成立.

若,則,

令,.

故在上是增函數(shù),又.所以.

故,故不成立.

綜上所述, 的取值為2或3；

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線經(jīng)過曲線的焦點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某電器專賣店銷售某種型號(hào)的空調(diào)，記第天（，）的日銷售量為（單位；臺(tái)）．函數(shù)圖象中的點(diǎn)分別在兩條直線上，如圖，該兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，已知時(shí)，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；

（2）求的值及該店前天此型號(hào)空調(diào)的銷售總量；

（3）按照經(jīng)驗(yàn)判斷，當(dāng)該店此型號(hào)空調(diào)的銷售總量達(dá)到或超過臺(tái)，且日銷售量仍持續(xù)增加時(shí)，該型號(hào)空調(diào)開始旺銷，問該店此型號(hào)空調(diào)銷售到第幾天時(shí)，才可被認(rèn)為開始旺銷？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列和滿足：，，且對(duì)一切，均有．

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中m是不等于零的常數(shù).

（1）時(shí)，直接寫出的值域；

（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）已知函數(shù)，，定義：，，，，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值.例如：，，則，，，.當(dāng)時(shí)，恒成立，求n的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，等腰梯形中，，，E為CD中點(diǎn)，將沿AE折到的位置．

（1）證明：；

（2）當(dāng)折疊過程中所得四棱錐體積取最大值時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線：的距離為，到點(diǎn)的距離為，且，若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（3）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若無窮數(shù)列滿足：只要,必有,則稱具有性質(zhì).

（1）若具有性質(zhì),且,求；

（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是等比數(shù)列,,,.判斷是否具有性質(zhì),并說明理由；

（3）設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.

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