Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b=c，且滿足

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

．
（1）求∠A的大��；
（2）若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求平面四邊形OACB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

，化為sinBcosA=sinA-sinAcosB，即sinC=sinA，又b=c，可得△ABC是等邊三角形，即可得出A．
（2）設(shè)該三角形的邊長為a，則S_OACB=

1

2

×1×2sinθ+

3

4

a2，利用余弦定理、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

，化為sinBcosA=sinA-sinAcosB，
∴sin（A+B）=sinA，
∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．
∴C=A，又b=c，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠A=

π

3

．
（2）設(shè)該三角形的邊長為a，a²=1²+2²-2×2×cosθ．
則S_OACB=

1

2

×1×2sinθ+

3

4

a2
=sinθ+

3

4

(12+22-2×2cosθ)
=2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

，
當(dāng)θ=

5π

6

時(shí)，S_OACB取得最大值

8+5 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．