Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x²+2mx+m
（1）若函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，求函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在區(qū)間[1，2]上的最大值，并求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=x²+2mx+m沒(méi)有零點(diǎn)可得△=（2m）²-4m＜0；從而解得；
（2）化簡(jiǎn)g（x）=

f(x)

x

=x+

2

x

+4；從而利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求最大值即最大值點(diǎn)．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+2mx+m沒(méi)有零點(diǎn)，
∴△=（2m）²-4m＜0；
故0＜m＜1；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x²+4x+2；
g（x）=

f(x)

x

=x+

2

x

+4；
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，
g（x）=x+

2

x

+4在[1，

2

]上單調(diào)遞減，在[

2

，2]上單調(diào)遞增；
且g（1）=1+2+4=7；g（2）=2+1+4=7；
故當(dāng)x=1或x=2時(shí)，
函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在區(qū)間[1，2]上取得最大值7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．