Question

下列說法：
①存在θ角使sinθ+cosθ＞

3

2

；
②存在一圓與直線系xcosθ+ysinθ=1（x∈R）都相切；
③當(dāng)a≥1時(shí)，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空；
④函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R，滿足f（x+2）=f（2-x）且f（1+x）+f（1-x）=0，則f（x）的一個(gè)周期為4．
其中正確的有（寫出所有可能結(jié)論的序號(hào)）

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①由兩角和的正弦化積求出函數(shù)的最大值判斷①；
②由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離判斷②；
③由絕對(duì)值的幾何意義判斷③；
④由自變量的變化結(jié)合兩個(gè)等式變形求得函數(shù)f（x）的周期判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，∴sinθ+cosθ的最大值為

2

＜

3

2

，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，∵O（0，0）到直線xcosθ+ysinθ=1的距離為

|-1|

cos2θ+sin2θ

=1，
∴存在一圓x²+y²=1與直線系xcosθ+ysinθ=1（x∈R）都相切，命題②正確；
對(duì)于③，∵|x-4|+|x-3|是數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)3，4的距離和，∴|x-4|+|x-3|≥1，
則當(dāng)a=1時(shí)，不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集是空集，命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由f（1+x）+f（1-x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），f（2+x）=-f（-x），
又f（x+2）=f（2-x），∴f（2-x）=-f（-x），則f（2+x）=-f（x），
∴f（2+2+x）=-f（2+x）=-[-f（x）]=f（x），則f（x）的一個(gè)周期為4，命題④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了絕對(duì)值的幾何意義，是中檔題．