Question

【題目】已知定點(diǎn)、，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于、兩點(diǎn)，若直線與斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）曲線的方程為 ；（2）直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則 ， ，即，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組

，消去得 ，設(shè)，根據(jù)斜率公式及韋達(dá)定理可得解得解得 或，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，直線的方程為.直線過(guò)定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則 ，

，即，

化簡(jiǎn)得： ，由已知，

故曲線的方程為 .

（Ⅱ）由已知直線斜率為0時(shí)，顯然不滿足條件。

當(dāng)直線 斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組

，消去得 ，

設(shè)，則，

直線與斜率分別為 , ，

，

由已知得，化簡(jiǎn)得，解得 或，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為過(guò)點(diǎn)A，顯然不符合條件，故舍去；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為.直線過(guò)定點(diǎn).

綜上，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.