Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為.經過點的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓方程及離心率.

（2）當直線的傾斜角為時，求線段的長；

（3）記的面積分別為和，求最大值.

Answer 1

【答案】(1) ; (2);(3).

【解析】

（1）由焦點坐標可求出c的值，根據a,b,c的平方關系可求得a的值；（2）寫出直線方程，與橢圓方程聯立得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得；（3）當直線l的斜率不存在時可求得；當直線l斜率存在時，設出直線方程并與橢圓方程聯立得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理用k表示出，，轉化為關于的式子，再轉化為關于k的表達式，利用基本不等式即可求得最大值.

（1）因為為橢圓的焦點，所以，又，

所以，橢圓方程為，離心率為；

（2）直線l的斜率為且過點，則直線l的方程為，

與橢圓方程聯立，得到，

所以，

；

（3）當直線l的斜率不存在時，直線方程為，

此時，，的面積相等，；

當直線l的斜率存在(顯然)時，設直線方程為，

設，

直線方程與橢圓方程聯立得，消y得，

顯然，方程有根，且，，

此時，

，當且僅當時等號成立.

綜上所述，的最大值為.