【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,△DAB≌△DCB,E為線段BD上的點,且EAEBEDAB,延長CEAD于點F

1)若GPD的中點,求證平面PAD⊥平面CGF;

2)若ADAP6,求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)推導(dǎo)出∠BCD,EFADAFDF,GF⊥平面ABCDGFAD,從而AD⊥平面CFG,由此能證明平面PAD⊥平面CGF

2)以A為原點,ADx軸,ABy軸,APz軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值.

1)證明:在△BCD中,EBEDECBC,∴∠BCD,

∵△DAB≌△DCB,∴△EAB≌△ECB

∴∠FED=∠FEA=∠AEBECEA,

∴∠FED=∠FEA,EDEA,∴EFADAFDF,

PGDG,∴FGPA

PA⊥平面ABCD,∴GF⊥平面ABCD,∴GFAD,

GFEFF,∴AD⊥平面CFG

AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面CGF

2)解:由(1)知∠BCD

∵△DAB≌△DCB,∴ABAD,

ADAP6,,∴AB2,

A為原點,ADx軸,ABy軸,APz軸,建立空間直角坐標系,

P00,6),B0,2,0),C33,0),D6,00),

0,2,﹣6),3,3,﹣6),6,0,﹣6),

設(shè)平面BCP的法向量xy,z),

,取x1,得1,﹣1),

設(shè)平面DCP的法向量x,y,z),

,取x1,得1,1),

設(shè)平面BCP與平面DCP所成銳二面角的平面角為θ,

cosθ

∴平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值為

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