Question

【題目】已知定點(diǎn)，圓，過(guò)R點(diǎn)的直線交圓于M，N兩點(diǎn)過(guò)R點(diǎn)作直線交SM于Q點(diǎn).

（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若A，B為Q的軌跡與x軸的左右交點(diǎn)，為該軌跡上任一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP分別交直線l：于點(diǎn)M，N，判斷以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)。如圓過(guò)定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)；如不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

【解析】

(1) 利用,,可以推出,

根據(jù)可知: 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以 為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,進(jìn)而可以寫(xiě)出Q點(diǎn)的軌跡方程.

(2)設(shè),求出的坐標(biāo)后,再求出 的中點(diǎn)坐標(biāo),然后求出以 為直徑的圓的方程,令可求得 為定值,所以圓過(guò)定點(diǎn).

(1)如圖:

因?yàn)?/span>,,

所以,

所以,

根據(jù)橢圓的定義知:動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以 為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,

這里,

所以 點(diǎn)的軌跡方程為:.

(2)由題可知,設(shè),

所以,則直線的方程為:,

令,則,

所以 ,

因?yàn)?/span>,則直線的方程為:,

令,則 ,所以,

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為,此時(shí)圓的方程為:

,

令,得,又,所以 , 解得:,

故以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).