Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線．

（1）將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍后得到曲線．試寫(xiě)出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程：

（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

【答案】（1），（為參數(shù)）（2）點(diǎn)，最大值為

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)將直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)圖像伸縮變換得曲線的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)橢圓參數(shù)方程得曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得點(diǎn)到直線的距離為

利用配角公式得，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得最值及對(duì)應(yīng)自變量的取值

試題解析：（1）由題意知，直線的直角坐標(biāo)方程為：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵曲線的直角坐標(biāo)方程為：，

∴曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)到直線的距離為：

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，此時(shí)．．．．．．．．．．．．．．．10分