Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求,,然后利用點(diǎn)斜式方程可求得答案;

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),構(gòu)造函數(shù)判斷其在上單調(diào)遞增,分類討論時(shí):判斷函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù),然后再由求得的取值范圍;時(shí),使得,判斷在上函數(shù)單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,求得函數(shù)最小值然后利用和進(jìn)行適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化即可求出參數(shù)的取值范圍,最后總結(jié)討論結(jié)果得出的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí),,,

則,,由點(diǎn)斜式方程可得:化簡(jiǎn)得:,

即切線方程為.

（2）由,得,

令,則.

所以在上單調(diào)遞增,且.

①當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,

由于恒成立,則有,即,

所以滿足條件;

②當(dāng)時(shí),則存在,使得,當(dāng)時(shí),,則,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則,單調(diào)遞增.

所以，

又滿足,即,

所以,則,即，得.

又，令，則，

可知，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，

所以，

此時(shí)滿足條件.

綜上所述,的取值范圍是.