Question

【題目】如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，雙曲線以A、B為頂點(diǎn)，焦距為，點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q，線段AQ的中點(diǎn)為M，記直線AP的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求雙曲線的方程；

(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍；

(3)是否存在定直線使得直線BP與直線OM關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求直線的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在直線滿足題意，詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，即可求得雙曲線的方程；

（2）由在上單調(diào)遞增，即可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；

（3）求出，可得直線與關(guān)于直線對(duì)稱，即可求解．

（1）由題意，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，雙曲線以A、B為頂點(diǎn)，焦距為，可得，所以，

所以雙曲線的方程．

（2）由題意，設(shè)，

直線的方程為，

代入橢圓方程，整理，

所以或，所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以．

（3）由（1）雙曲線的方程，

可得，同理,

所以，即，

設(shè)直線，則直線，解得，

所以直線與關(guān)于直線對(duì)稱．