Question

設(shè)f（x）=x-ln|x|．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）請(qǐng)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）設(shè)實(shí)常數(shù)a，b滿足ab＞0，試求f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先通過代特殊值驗(yàn)證f（x）的奇偶性，若具有奇偶性再用定義證明；
（2）易知f（x）非奇非偶，所以分x＞0和x＜0兩種情況，先研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、坐標(biāo)軸交點(diǎn)、極值等；
（3）根據(jù)第（2）問得到的單調(diào)性分a、b同正和同負(fù)兩種情況討論求值．

解答： 解：（1）∵f（e）=e-1，f（-e）=-e-1，顯然，f（-e）≠f（e）且f（-e）≠-f（e），所以函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)；
（2）∵f（x）=x-ln|x|∴f(x)=

x-lnx，      x＞0 x-ln(-x)， x＜0

，
①當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，當(dāng)x∈（0，1），f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0∴f（x）在（1，+∞）上遞增；且當(dāng)x→0時(shí)，lnx→-∞，所以x-lnx→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，∵x比lnx增長(zhǎng)得快，∴x-lnx→+∞；x=1時(shí)取得最小值1．
②當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=1-

1

x

＞0恒成立，∴f（x）在（-∞，0）上遞增；且x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞．
∴f（x）=x-ln|x|的圖象為

（3）∵ab＞0，∴a＜b＜0或0＜a＜b，
①當(dāng)a＜b＜0時(shí)，由（2）知f（x）在[a，b]上遞增，∴y_min=f（a）=a-ln|a|；
②當(dāng)0＜a＜b≤1時(shí)，由（2）知，f（x）在[a，b]上遞減，∴y_min=f（b）=b-ln|b|；
③當(dāng)0＜a≤1＜b時(shí)，f（x）在[a，1]上遞減，在[1，b]上遞增∴y_min=f（1）=1；
④當(dāng)1≤a＜b時(shí)，f（x）在[a，b]上遞增，∴y_min=f（a）=a-lna

點(diǎn)評(píng)：研究函數(shù)的性質(zhì)一定要先看定義域，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義（或圖象）判斷奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)（或圖象或定義）研究單調(diào)性；對(duì)于最值問題，主要還是利用單調(diào)性求最值，不能確定單調(diào)性的，要按照增減區(qū)間的分界點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行討論；圖象問題，還是看定義域、值域、單調(diào)性、極值等性質(zhì)，然后畫出簡(jiǎn)圖．