【題目】已知函數(shù)f (x)=x-(a+1)ln x-(a∈R),g (x)=x2+ex-xex.

(1)當(dāng)x∈[1,e] 時,求f (x)的最小值;

(2)當(dāng)a<1時,若存在x1∈[e,e2],使得對任意的x2∈[-2,0],f (x1)<g (x2)恒成立,求a的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)求出fx)的定義域,求導(dǎo)數(shù)f′(x),得其極值點(diǎn),按照極值點(diǎn)a在[1,e2]的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論,可得其最小值;

(2)存在x1∈[e,e2],使得對任意的x2∈[﹣2,0],fx1)<gx2)恒成立,即 fxmingxmin,由(1)知fx)在[ee2]上遞增,可得fxmin,利用導(dǎo)數(shù)可判斷gx)在[﹣2,0]上的單調(diào)性,可得gxmin,由 fxmingxmin,可求得a的范圍;

(1)fx)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(xa∈R),

當(dāng)a≤1時,x∈[1,e2],f′(x)≥0,fx)為增函數(shù),

所以fxminf(1)=1﹣a;

當(dāng)1<ae2時,x∈[1,a],f′(x)≤0,fx)為減函數(shù),x∈[a,e2],f′(x)≥0,fx)為增函數(shù),

所以fxminfa)=a﹣(a+1)lna﹣1;

當(dāng)ae2時,x∈[1,e2],f′(x)≤0,fx)為減函數(shù),

所以fxminfe2)=e2﹣2(a+1)

綜上,當(dāng)a≤1時,fxmin=1﹣a

當(dāng)1<ae2時,fxmina﹣(a+1)lna﹣1;

當(dāng)ae2時,fxmine2﹣2(a+1);

(2)存在x1∈[ee2],使得對任意的x2∈[﹣2,0],fx1)<gx2)恒成立,即 fxmingxmin,

當(dāng)a<1時,由(1)可知,x∈[ee2],fx)為增函數(shù),

fx1minfe)=e﹣(a+1)

g′(x)=x+exxexexx(1﹣ex),

當(dāng)x∈[﹣2,0]時g′(x)≤0,gx)為減函數(shù),gxming(0)=1,

e﹣(a+1)1,a,

a∈(,1).

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