【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若,且方程在區(qū)間內(nèi)有解,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) 極小值為,極大值為. (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)將a=b=1代入函數(shù)f(x)的解析式,求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x),求出極值點,并分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可確定函數(shù)的極大值和極小值;
(Ⅱ)由f(1)=1,得b=e﹣1﹣a,再由f(x)=1,得ex=ax2+bx+1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,分析函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)g(x)的極值正負確定方程f(x)=1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有解的等價條件,從而構(gòu)造不等式求出實數(shù)a的取值范圍.
(Ⅰ),當時,,
,得,∴在上單調(diào)遞增;
,得或,∴在和上單調(diào)遞減.
∴的極小值為,極大值為.
(Ⅱ)由得,由得,
設(shè),則在內(nèi)有零點,設(shè)為在內(nèi)的一個零點,
由知在和不單調(diào).
設(shè),則在和上均存在零點,即在上至少有兩個零點.
,,
當時,,在上遞增,不可能有兩個及以上零點,
當時,,在上遞減,不可能有兩個及以上零點,
當時,令得,
∴在上遞減,在上遞增,在上存在最小值,
若有兩個零點,則有,,,
,,
設(shè),,則,令,得,
當時,,遞增;當時,,遞減.
∴,∴恒成立.
由,,得.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列{an)滿足a1=5,且a3,a6,a11成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an·3n-1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市為創(chuàng)建全國文明城市,推出“行人闖紅燈系統(tǒng)建設(shè)項目”,將針對闖紅燈行為進行曝光.交警部門根據(jù)某十字路口以往的監(jiān)測數(shù)據(jù),從穿越該路口的行人中隨機抽查了人,得到如圖示的列聯(lián)表:
闖紅燈 | 不闖紅燈 | 合計 | |
年齡不超過歲 | |||
年齡超過歲 | |||
合計 |
(1)能否有的把握認為闖紅燈行為與年齡有關(guān)?
(2)下圖是某路口監(jiān)控設(shè)備抓拍的個月內(nèi)市民闖紅燈人數(shù)的統(tǒng)計圖.請建立與的回歸方程,并估計該路口月份闖紅燈人數(shù).
附:
,
參考數(shù)據(jù):,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當?shù)氐牧曀资寝r(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農(nóng)歷十二月底進行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位:箱)在的客戶稱為“熟客”,并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表:
采購數(shù)x |
| ||||
客戶數(shù) | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖,并估計采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù);
(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);
(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調(diào)查,決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷,若不在網(wǎng)上出售魚卷,則按去年的價格出售,每箱利潤為20元,預(yù)計銷售量與去年持平;若在網(wǎng)上出售魚卷,則需把每箱售價下調(diào)2至5元,且每下調(diào)m元()銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用水清洗一份蔬菜上殘留的農(nóng)藥,對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的,用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多,但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設(shè)用單位量的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù).
(1)求的值,并解釋其實際意義;
(2)現(xiàn)有單位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗兩次,試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】大學先修課程,是在高中開設(shè)的具有大學水平的課程,旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練,為大學學習乃至未來的職業(yè)生涯做好準備.某高中成功開設(shè)大學先修課程已有兩年,共有250人參與學習先修課程.
(Ⅰ)這兩年學校共培養(yǎng)出優(yōu)等生150人,根據(jù)下圖等高條形圖,填寫相應(yīng)列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表檢驗?zāi)芊裨诜稿e的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系?
優(yōu)等生 | 非優(yōu)等生 | 總計 | |
學習大學先修課程 | 250 | ||
沒有學習大學先修課程 | |||
總計 | 150 |
(Ⅱ)某班有5名優(yōu)等生,其中有2名參加了大學生先修課程的學習,在這5名優(yōu)等生中任選3人進行測試,求這3人中至少有1名參加了大學先修課程學習的概率.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
參考公式:,其中
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《普通高中數(shù)學課程標準(版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗,根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖,每項指標值滿分為分,分值高者為優(yōu),低者為差),則下面敘述不正確的是( )
A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于乙
B.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差
C.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)差于邏輯推理素養(yǎng)
D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在年月日,某市物價部門對本市的家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查,家商場的售價元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如表所示:
價格 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 |
銷售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
根據(jù)公式計算得相關(guān)系數(shù),其線性回歸直線方程是:,則下列說法正確的有( )
參考:
A.有的把握認為變量具有線性相關(guān)關(guān)系
B.回歸直線恒過定點
C.
D.當時,的估計值為
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