Question

【題目】某企業(yè)接到生產3000臺某產品的三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個工人每天可生產部件6件，或部件3件，或部件2件．該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件，生產部件的人數與生產部件的人數成正比，比例系數為（為正整數）．

（1）設生產部件的人數為，分別寫出完成三件部件生產需要的時間；

（2）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案．

Answer 1

【答案】（1）A:，B:，C:，其中均為1到200之間的正整數；（2）當時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產三種部件的人數分別為44，88，68．

【解析】

試題分析：（1）產品件數都是3000，關鍵是求出人數分配，由題意生產A部件人數為，則B有人，C有人，這樣由產品件數除以人數可得時間；（2）的最大值就是完成任務所需時間，記為，注意到，為了求最小值，因此可分類和，為減函數，為增函數，時，，在時，取得最小值，當時，，此時

，因此，由于是遞增，因此也量時，取得最小值，比較兩個最小值的大小后發(fā)現時更小，從而確定時，時間最小．

試題解析：（1）設完成三種部件的生產任務需要的時間（單位：天）分別為，由題設有，

，

其中均為1到200之間的正整數

（2）完成訂單任務的時間為．

易知，為減函數，為增函數，注意到，

于是①當時，，此時，，

由函數的單調性知，當時，取得最小值，解得，

由于，而，∵，

∴當時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為

②當時，，由于為正整數，∴，

此時，．

記，易知，是增函數，

則，

由函數的單調性知，當時，取得最小值，解得，

由于，而，

此時，完成訂單任務的最短時間大于．

綜上所述，當時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產三種部件的人數分別為44，88，68．