Question

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²-4x+2，若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-f（-x）=x²-4x-2．由于f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則只需x≥0時(shí)，f（x）_min≥a+1即可．
利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到x＞0時(shí)的函數(shù)最小值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）²-4（-x）+2=-x²+4x+2，
由于y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，則f（x）=0；
當(dāng)x＞0時(shí)，則f（x）=-f（-x）=x²-4x-2．
由于f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0恒成立，
則只需x≥0時(shí)，f（x）_min≥a+1即可．
①當(dāng)x＞0時(shí)，由于f（x）=x²-4x-2的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=2，
則f（x）_min=（2）²-4×2-2=-6，
故-6≥a+1，解得a≤-7．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
綜上可知：（-∞，-7]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握奇函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．