Question

在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，a₅=5，S₈=36．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將{a_n}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得S₈=4（a₄+a₅）=9，結(jié)合a₅=5可得a₄=4，可得公差可得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由題意和（Ⅰ）的結(jié)果可得b_n=2ⁿ，進(jìn)而可得a_nb_n=n•2ⁿ，由錯(cuò)位相減法可求和．

解答： 解：（Ⅰ）由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得
S₈=

8(a1+a8)

2

=

8(a4+a5)

2

=36，
化簡(jiǎn)可得a₄+a₅=9，結(jié)合a₅=5可得a₄=4，
∴數(shù)列{a_n}的公差d=5-4=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₄+（n-4）d=n；
（Ⅱ）將{a_n}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，
可得b_n=2ⁿ，∴a_nb_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②可得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2
=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題．