Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+2x，a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，解不等式f（x）≥4x+2的解集；
（Ⅱ）若存在x使f（x）≤-|x+2|+2x+1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=2時，|x-2|+2x≥4x+2?|x-2|≥2x+2，對x分x-2≥0與x-2＜0討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式f（x）≥4x+2的解集；
（Ⅱ）利用絕對值不等式|x-a|+|x+2|≥|x+2-x+a|=|a+2|及不等式|x-a|+|x+2|≤1即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，|x-2|+2x≥4x+2，
即|x-2|≥2x+2，
∴

x-2≥0 x-2≥2x+2

或

x-2＜0 2-x≥2x+2

，
∴

x≥2 x≤-4

或

x＜2 x≤0

，
∴x≤0，即不等式的解集為{x|x≤0}…5分
（Ⅱ）若存在x使f（x）≤-|x+2|+2x+1 成立，即存在x使|x-a|+|x+2|≤1 成立，
∵|x-a|+|x+2|≥|x+2-x+a|=|a+2|，
∴|a+2|≤1，
∴-3≤a≤-1…10分

點評：本題考查含絕對值的不等式的解法，通過分類討論，去掉絕對值符號是解決問題的關(guān)鍵，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．