Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x₀∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+

9

4a

+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（a）=a+

9

4a

+m，由題意得，即證f（x）_max＞g（a）_max，利用導(dǎo)數(shù)分別求出兩函數(shù)的最大值，解不等式即得結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=2[（x+1）-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f'（x）＞0，得x＞0；
由f'（x）＜0，得-1＜x＜0
所以f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；遞減區(qū)間是（-1，0）．
（2）設(shè)g（a）=a+

9

4a

+m，g′（a）=1-

9

4a2

=0，∴a=

3

2

∴y=g（a）在a∈（1，

3

2

）上單調(diào)遞減，在a∈（

3

2

，2）上單調(diào)遞增，
又由（1）知f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2）=11-ln9…（12分）
又g（1）=

13

4

+m，g（2）=

25

8

+m，
∴g（1）＞g（2），
∴若對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x₀∈[1，2]，使不等式f(x0)＞a+

9

4a

+m成立，則
∴11-ln9＞

13

4

+m
∴m＜

31

4

-ln9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的最大值等知識(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力，屬難題．