【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，以為圓心過橢圓左頂點的圓與直線相切于，且滿足．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，，問內(nèi)切圓面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由．

【答案】（1）；（2）有，最大值

【解析】

（1）由已知可得到直線的距離等于，結(jié)合，建立方程組，求解即可得出橢圓的標準方程；

（2）即求內(nèi)切圓的半徑是否有最大值，因為周長為，轉(zhuǎn)化為的面積是否有最大值，設(shè)，則，再設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得出關(guān)系，表示為的函數(shù)，根據(jù)其特征求出范圍，即可得出結(jié)論.

（1）由已知橢圓方程為，

設(shè)橢圓右焦點，由到直線的距離等于，

得，，

又，，

又，求得，．

橢圓方程為，

（2）設(shè)，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

的周長為，

所以，

根據(jù)題意，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由，得，

，，

，，

所以，

令，則，所以，

令，則當時，，

單調(diào)遞增，所以，，

即當，，直線的方程為時，

的最大值為3，此時內(nèi)切圓半徑最大，

內(nèi)切圓面積有最大值．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知無窮數(shù)列的前項中的最大項為，最小項為，設(shè).

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前項和；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線：與曲線：交于，兩點，且的周長為．

（Ⅰ）求曲線的方程．

（Ⅱ）設(shè)過曲線焦點的直線與曲線交于，兩點，記直線，的斜率分別為，．求證：為定值．

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【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于，兩點.

（1）若過點，證明：；

（2）若，點在曲線上，，的中點均在拋物線上，求面積的取值范圍.

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【題目】已知雙曲線，不與軸垂直的直線與雙曲線右支交于點，，（在軸上方，在軸下方），與雙曲線漸近線交于點，（在軸上方），為坐標原點，下列選項中正確的為（ ）

A.恒成立

B.若，則

C.面積的最小值為1

D.對每一個確定的，若，則的面積為定值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知為拋物線上一點，斜率分別為，的直線PA，PB分別交拋物線于點A，B（不與點P重合）.

（1）證明：直線AB的斜率為定值；

（2）若△ABP的內(nèi)切圓半徑為.

（i）求△ABP的周長（用k表示）；

（ii）求直線AB的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國唐代天文學家、數(shù)學家張逐曾以“李白喝酒”為題編寫了如下一道題：“李白街上走，提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗（計量單位），三遇店和花，喝光壺中酒．”問最后一次遇花時有酒________斗，原有酒________斗．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓交于兩點，且（其中為坐標原點），若橢圓的離心率滿足，則橢圓長軸的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）當時，若存在正實數(shù)，使得對，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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