Question

【題目】已知雙曲線，不與軸垂直的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)，，（在軸上方，在軸下方），與雙曲線漸近線交于點(diǎn)，（在軸上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列選項(xiàng)中正確的為（ ）

A.恒成立

B.若，則

C.面積的最小值為1

D.對每一個(gè)確定的，若，則的面積為定值

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

對于A選項(xiàng)，設(shè)直線方程為，分別與雙曲線方程以及雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷是否相等即可；對于B選項(xiàng)，由，得到，結(jié)合A選項(xiàng)的結(jié)果，即可判斷選項(xiàng)B是否正確；對于C選項(xiàng)，設(shè)直線方程為，，直線分別與漸近線方程聯(lián)立，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出的面積，根據(jù)的范圍，求出的面積的范圍即可；對于D選項(xiàng)，由已知可得，利用選項(xiàng)A的方程，得到關(guān)系，求出的面積即可.

設(shè)，代入得，①

顯然，，即，

設(shè)，，則，是方程①的兩個(gè)根，

有，，

設(shè)，，由得，

由，得；

所以，所以和的中點(diǎn)重合，

所以，所以恒成立．故A正確．

因?yàn)?/span>和的中點(diǎn)重合為，所以，

又，所以，

所以，故B正確．

設(shè)直線方程為，，

由得，由得，

，，，

，故C錯(cuò)誤.

因?yàn)?/span>，所以，得

，即，

所以，，又，，，

所以是定值．故D正確．

故選：ABD.