Question

已知函數(shù)，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

（1）偶函數(shù)；（2）,；（3） 

試題分析：(1)判斷奇偶性，需先分析函數(shù)的定義域要關(guān)于原點對稱，然后分析解析式與的關(guān)系可得；(2)根據(jù)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，所以可以考慮先分析時的單調(diào)性，于是在時利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后再分析對稱區(qū)間上的單調(diào)性；（3）把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的最值，保證函數(shù)圖形與的交點的存在
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為且關(guān)于坐標(biāo)原點對稱      1分
為偶函數(shù)                4分
（2）當(dāng)時，               5分
令
令
                             6分
所以可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，          7分
又因為是偶函數(shù)，所以在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，所以可得：
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，          8分
綜上可得：的遞增區(qū)間是:,；
的遞減區(qū)間是: ,                           10分
（3）由，即,顯然,
可得：令，當(dāng)時, 
           12分
顯然，當(dāng)時，,單調(diào)遞減，
當(dāng)時，,單調(diào)遞增，
時,             14分 
又，所以可得為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱
所以可得:當(dāng)時，           16分 
∴的值域為 ∴的取值范圍是      16分